Microsoft Research offentliggjorde 21. oktober en gennemgang af et matematisk gennembrud, som virksomheden beskriver som løsningen på KLS-formodningen. Problemet har stået åbent siden 1995 og handler om geometrien i rum med mange dimensioner. Bag arbejdet står Zhao Song og Microsoft-forskeren Xinzhi Zhang.

Den nye meddelelse fortæller også om arbejdsformen: Forskerne brugte AI til at udforske mulige argumenter, mens de selv valgte retning og kontrollerede resultaterne. Bevismanuskripterne blev lagt frem tidligere i oktober. Nyheden denne uge er derfor forskernes offentliggjorte redegørelse for gennembruddet, ikke at hele beviset først er dukket op nu.

Et spørgsmål om flaskehalse

En forenklet måde at forstå problemet på er at forestille sig en geometrisk figur, som skal skæres i to. Hvor meget dårligere kan det bedste flade snit være end et snit, der frit må bøje og krumme? KLS handler om, at forskellen kan begrænses af en fast faktor, også når antallet af dimensioner stiger.

Den præcise matematik gælder en bestemt klasse af sandsynlighedsfordelinger, kaldet log-konkave fordelinger. Det er altså ikke en påstand om alle tænkelige former eller datasæt. Forskerne arbejder med særlige normaliseringer og mål for, hvor let en fordeling kan deles eller gennemløbes.

I Song og Zhangs manuskript formuleres resultatet som en universel grænse, der ikke afhænger af dimensionen. Tidligere grænser voksede med antallet af dimensioner. Selv en meget langsom vækst er matematisk forskellig fra en fast grænse, når udsagnet skal gælde for alle dimensioner.

Hvorfor computere har brug for geometrien

Forbindelsen til datalogi ligger blandt andet i tilfældige vandringer. En algoritme kan undersøge et stort rum ved at bevæge sig gennem det i mange små, tilfældige trin. Hvis rummet har vanskelige flaskehalse, kan det tage lang tid at udforske det repræsentativt.

Song og Zhang beskriver, hvordan grænser for KLS-konstanten indgår i analyser af sampling, volumenberegning og integration. Resultatet handler dermed om det teoretiske grundlag for at udtage stikprøver og beregne størrelser, som er vanskelige at overskue direkte.

Det betyder ikke, at en almindelig computer med det samme bliver hurtigere. Et bevis for en generel grænse er noget andet end et færdigt program med målt ydelse. Praktiske gevinster afhænger af, hvilke algoritmer der bygger på resultatet, og hvor store de relevante konstanter er.

Andre matematikere har lagt beviser frem

Der findes også et separat manuskript af Pierre Bizeul, Boaz Klartag og Joseph Lehec, indsendt til arXiv 4. oktober. De præsenterer et bevis for KLS og udpeger et nyt kriterium fra Song og Zhang som det afgørende skridt.

Det er en vigtig nuance i fortællingen om uafhængig kontrol. Der er forskellige bevisarbejder, men de er ikke uden fælles matematiske byggesten. Et resultat kan både blive efterprøvet af andre forskere og samtidig bygge på en idé fra det oprindelige arbejde.

Krishnakumar Balasubramanian og Shiva Kasiviswanathan har desuden lagt et andet manuskript frem. ArXiv angiver første indsendelse 6. oktober og en revideret version 8. oktober. Her anfører de en eksplicit øvre grænse på 25 for den relevante Poincaré-konstant under de angivne forudsætninger.

De datoer er værd at holde adskilt fra datoen på Microsofts præsentation. De viser et forskningsforløb med flere offentliggjorte argumenter og revisioner. De citerede arXiv-sider dokumenterer manuskripterne; de er ikke i sig selv dokumentation for afsluttet tidsskriftsbedømmelse.

AI hjalp med søgningen – forskerne styrede den

Ifølge Microsoft udforskede holdet omkring hundrede forskningsspor. AI-systemer hjalp med beregninger og mulige argumenter, mens forskerne sorterede idéer fra og samlede beviset. Virksomheden oplyser også, at forsøg uden den samme menneskelige styring ikke nåede målet.

Det interessante er derfor både matematikken og opdelingen af arbejdet. Denne sag viser et konkret eksempel på den arbejdsform, forskerne beskriver. Den dokumenterer ikke, at AI generelt kan løse åbne matematiske problemer på egen hånd, eller at alle forslag fra systemerne var korrekte.

Kilder og videre læsning

Har du fundet en fejl? Læs om rettelser.